scipy.stats.Binomial.

moment#

Binomial.moment(Reihenfolge=1, Art='roh', *, Methode=None)[Quelle]#

Roh-, zentrales oder Standardmoment positiver ganzzahliger Ordnung.

In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion \(f(x)\) und die Träger \(\chi\) ist das „rohe“ Moment (um den Ursprung) der Ordnung \(n\) einer kontinuierlichen Zufallsvariable \(X\):

\[\mu'_n(X) = \int_{\chi} x^n f(x) dx\]

Das „zentrale“ Moment ist das rohe Moment um den Mittelwert \(\mu = \mu'_1\).

\[\mu_n(X) = \int_{\chi} (x - \mu) ^n f(x) dx\]

Das „standardisierte“ Moment ist das zentrale Moment, normalisiert durch die \(n^\text{te}\) Potenz der Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{\mu_2}\), um eine skaleninvariante Größe zu erzeugen.

\[\tilde{\mu}_n(X) = \frac{\mu_n(X)} {\sigma^n}\]

Die Definitionen für diskrete Zufallsvariablen sind analog, wobei Summen über die Träger die Integrale ersetzen.

Parameter:
orderint

Die ganzzahlige Ordnung des Moments; d. h. \(n\) in den obigen Formeln.

kind{‘raw’, ‘central’, ‘standardized’}

Ob das obige rohe (Standard), zentrale oder standardisierte Moment zurückgegeben werden soll.

method{None, ‘formula’, ‘general’, ‘transform’, ‘normalize’, ‘quadrature’, ‘cache’}

Die zur Auswertung des Moments verwendete Strategie. Standardmäßig (None) wählt die Infrastruktur zwischen den folgenden Optionen, die in der Reihenfolge der Priorität aufgeführt sind.

  • 'cache': Verwenden Sie den Wert des Moments, der zuletzt mit einer anderen Methode berechnet wurde.

  • 'formula': Verwenden Sie eine Formel für das Moment selbst.

  • 'general': Verwenden Sie ein allgemeines Ergebnis, das für alle Verteilungen mit endlichen Momenten gilt; zum Beispiel ist das nullte rohe Moment identisch 1.

  • 'transform': Transformieren Sie ein rohes Moment in ein zentrales Moment oder umgekehrt (siehe Hinweise).

  • 'normalize': Normalisieren Sie ein zentrales Moment, um ein standardisiertes zu erhalten oder umgekehrt.

  • 'quadrature': Numerische Integration (oder im diskreten Fall Summation) gemäß der Definition.

Nicht alle method Optionen sind für alle Ordnungen, Arten und Verteilungen verfügbar. Wenn die ausgewählte method nicht verfügbar ist, wird ein NotImplementedError ausgelöst.

Rückgabe:
outarray

Das Moment der Zufallsvariablen der angegebenen Ordnung und Art.

Siehe auch

pdf
mean
Varianz
standard_deviation
Schiefe
Kurtosis

Hinweise

Nicht alle Verteilungen haben endliche Momente aller Ordnungen; Momente einiger Ordnungen können undefiniert oder unendlich sein. Wenn für die gewählte Verteilung keine Formel für das Moment speziell implementiert ist, versucht SciPy, das Moment über eine generische Methode zu berechnen, die ein endliches Ergebnis liefern kann, wo keines existiert. Dies ist kein kritischer Fehler, sondern eine Gelegenheit zur Verbesserung.

Die Definition eines rohen Moments in der Zusammenfassung bezieht sich spezifisch auf das rohe Moment um den Ursprung. Das rohe Moment um jeden Punkt \(a\) ist:

\[E[(X-a)^n] = \int_{\chi} (x-a)^n f(x) dx\]

In dieser Notation ist ein rohes Moment um den Ursprung \(\mu'_n = E[x^n]\) und ein zentrales Moment ist \(\mu_n = E[(x-\mu)^n]\), wobei \(\mu\) das erste rohe Moment ist; d. h. der Mittelwert.

Die Methode 'transform' nutzt die folgenden Beziehungen zwischen Momenten, die um verschiedene Punkte \(a\) und \(b\) gebildet werden.

\[E[(X-b)^n] = \sum_{i=0}^n E[(X-a)^i] {n \choose i} (a - b)^{n-i}\]

Um beispielsweise das rohe Moment in das zentrale Moment umzuwandeln, setzen wir \(b = \mu\) und \(a = 0\).

Die Verteilungsinfrastruktur bietet Verfassern von Verteilungen die Flexibilität, separate Formeln für rohe Momente, zentrale Momente und standardisierte Momente jeder Ordnung zu implementieren. Standardmäßig wird das Moment der gewünschten Ordnung und Art aus der Formel ausgewertet, wenn eine solche Formel verfügbar ist; andernfalls verwendet die Infrastruktur verfügbare Formeln, anstatt direkt auf numerische Integration zurückzugreifen. Wenn beispielsweise Formeln für die ersten drei rohen Momente verfügbar sind und das dritte standardisierte Moment gewünscht wird, wertet die Infrastruktur die rohen Momente aus und führt die erforderlichen Transformationen und Standardisierungen durch. Der Entscheidungsbaum ist etwas komplex, aber die Strategie zum Erhalt eines Moments einer gegebenen Ordnung und Art (möglicherweise als Zwischenschritt aufgrund der rekursiven Natur der obigen Transformationsformel) folgt grob dieser Prioritätenreihenfolge:

  1. Verwenden Sie den Cache (wenn ein Moment gleicher Ordnung und Art bereits berechnet wurde)

  2. Verwenden Sie die Formel (falls verfügbar)

  3. Transformieren Sie zwischen rohem und zentralem Moment und/oder normalisieren Sie, um zwischen zentralen und standardisierten Momenten zu konvertieren (falls effizient)

  4. Verwenden Sie ein generisches Ergebnis, das für die meisten Verteilungen gilt (falls verfügbar)

  5. Verwenden Sie Quadratur

Referenzen

Beispiele

Instanziieren Sie eine Verteilung mit den gewünschten Parametern

>>> from scipy import stats
>>> X = stats.Normal(mu=1., sigma=2.)

Auswertung des ersten rohen Moments

>>> X.moment(order=1, kind='raw')
1.0
>>> X.moment(order=1, kind='raw') == X.mean() == X.mu
True

Auswertung des zweiten zentralen Moments

>>> X.moment(order=2, kind='central')
4.0
>>> X.moment(order=2, kind='central') == X.variance() == X.sigma**2
True

Auswertung des vierten standardisierten Moments

>>> X.moment(order=4, kind='standardized')
3.0
>>> X.moment(order=4, kind='standardized') == X.kurtosis(convention='non-excess')
True
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