scipy.special.elliprd

scipy.special.elliprd(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprd'>

Symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.

Die Funktion RD ist definiert als [1]

\[R_{\mathrm{D}}(x, y, z) = \frac{3}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y)]^{-1/2} (t + z)^{-3/2} dt\]

Parameter:

x, y, zarray_like

Reale oder komplexe Eingabeparameter. x oder y können jede Zahl in der komplexen Ebene sein, die entlang der negativen reellen Achse geschnitten ist, aber höchstens eine von ihnen darf Null sein, während z ungleich Null sein muss.

outndarray, optional

Optionales Ausgabe-Array für die Funktionswerte

Rückgabe:

RSkalar oder ndarray

Wert des Integrals. Wenn alle x, y und z reell sind, ist der Rückgabewert reell. Andernfalls ist der Rückgabewert komplex.

Siehe auch

elliprc

Degeneriertes symmetrisches elliptisches Integral.

elliprf

Vollständig symmetrisches elliptisches Integral erster Art.

elliprg

Vollständig symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.

elliprj

Symmetrisches elliptisches Integral dritter Art.

Hinweise

RD ist ein degenerierter Fall des elliptischen Integrals RJ: elliprd(x, y, z) == elliprj(x, y, z, z).

Der Code implementiert den Algorithmus von Carlson, der auf Duplikationstheoremen und Reihenentwicklungen bis zur 7. Ordnung basiert. [2]

Hinzugefügt in Version 1.8.0.

Referenzen

[1]

B. C. Carlson, ed., Kapitel 19 in „Digital Library of Mathematical Functions,“ NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E5

[2]

B. C. Carlson, „Numerical computation of real or complex elliptic integrals“, Numer. Algorithm, Bd. 10, Nr. 1, S. 13–26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

Beispiele

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Grundlegende Homogenitätseigenschaft

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprd

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprd(scale*x, scale*y, scale*z)
(-0.03703043835680379-0.24500934665683802j)

>>> elliprd(x, y, z)*np.power(scale, -1.5)
(-0.0370304383568038-0.24500934665683805j)

Alle drei Argumente sind identisch

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprd(x, x, x)
(-0.03986825876151896-0.14051741840449586j)

>>> np.power(x, -1.5)
(-0.03986825876151894-0.14051741840449583j)

Die sogenannte „zweite Lemniskatenkonstante“

>>> elliprd(0, 2, 1)/3
0.5990701173677961

>>> from scipy.special import gamma
>>> gamma(0.75)**2/np.sqrt(2*np.pi)
0.5990701173677959

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