scipy.special.elliprc#

scipy.special.elliprc(x, y, out=None) = <ufunc 'elliprc'>#

Degeneriertes symmetrisches elliptisches Integral.

Die Funktion RC ist definiert als [1]

\[R_{\mathrm{C}}(x, y) = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} (t + x)^{-1/2} (t + y)^{-1} dt = R_{\mathrm{F}}(x, y, y)\]

Parameter:

x, yarray_like: Reale oder komplexe Eingabeparameter. x kann jede Zahl in der komplexen Ebene sein, die entlang der negativen reellen Achse geschnitten ist. y darf nicht Null sein.
outndarray, optional: Optionales Ausgabe-Array für die Funktionswerte

Rückgabe:

RSkalar oder ndarray: Wert des Integrals. Wenn y reell und negativ ist, wird der Cauchy-Hauptwert zurückgegeben. Wenn sowohl x als auch y reell sind, ist der Rückgabewert reell. Andernfalls ist der Rückgabewert komplex.

Siehe auch

elliprf: Vollständig symmetrisches elliptisches Integral erster Art.
elliprd: Symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.
elliprg: Vollständig symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.
elliprj: Symmetrisches elliptisches Integral dritter Art.

Hinweise

RC ist ein degenerierter Fall des symmetrischen Integrals RF: elliprc(x, y) == elliprf(x, y, y). Es handelt sich eher um eine elementare Funktion als um ein elliptisches Integral.

Der Code implementiert den Algorithmus von Carlson, der auf den Duplikationstheoremen und Reihenentwicklungen bis zur 7. Ordnung basiert. [2]

Hinzugefügt in Version 1.8.0.

Referenzen

[1]

B. C. Carlson, hrsg., Kapitel 19 in „Digital Library of Mathematical Functions“, NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E6

[2]

B. C. Carlson, „Numerical computation of real or complex elliptic integrals“, Numer. Algorithm, Bd. 10, Nr. 1, S. 13–26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

Beispiele

Grundlegende Homogenitätseigenschaft

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprc

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprc(scale*x, scale*y)
(0.5484493976710874-0.4169557678995833j)

>>> elliprc(x, y)/np.sqrt(scale)
(0.5484493976710874-0.41695576789958333j)

Wenn die beiden Argumente zusammenfallen, ist das Integral besonders einfach

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprc(x, x)
(0.4299173120614631-0.3041729818745595j)

>>> 1/np.sqrt(x)
(0.4299173120614631-0.30417298187455954j)

Ein weiterer einfacher Fall: das erste Argument verschwindet

>>> y = 1.2 + 3.4j
>>> elliprc(0, y)
(0.6753125346116815-0.47779380263880866j)

>>> np.pi/2/np.sqrt(y)
(0.6753125346116815-0.4777938026388088j)

Wenn x und y beide positiv sind, können wir \(R_C(x,y)\) durch elementarere Funktionen ausdrücken. Für den Fall \(0 \le x < y\),

>>> x = 3.2
>>> y = 6.
>>> elliprc(x, y)
0.44942991498453444

>>> np.arctan(np.sqrt((y-x)/x))/np.sqrt(y-x)
0.44942991498453433

Und für den Fall \(0 \le y < x\),

>>> x = 6.
>>> y = 3.2
>>> elliprc(x,y)
0.4989837501576147

>>> np.log((np.sqrt(x)+np.sqrt(x-y))/np.sqrt(y))/np.sqrt(x-y)
0.49898375015761476