roots_hermite#
- scipy.special.roots_hermite(n, mu=False)[Quelle]#
Gauß-Hermite (Physiker-) Quadratur.
Berechnet die Abtastpunkte und Gewichte für die Gauß-Hermite-Quadratur. Die Abtastpunkte sind die Wurzeln des Hermite-Polynoms vom Grad n, \(H_n(x)\). Diese Abtastpunkte und Gewichte integrieren Polynome vom Grad \(2n - 1\) oder kleiner über das Intervall \([-\infty, \infty]\) mit der Gewichtungsfunktion \(w(x) = e^{-x^2}\) korrekt. Siehe 22.2.14 in [AS] für Details.
- Parameter:
- nint
Ordnung der Quadratur
- mubool, optional
Wenn True, wird die Summe der Gewichte zurückgegeben, optional.
- Rückgabe:
- xndarray
Abtastpunkte
- wndarray
Gewichte
- mufloat
Summe der Gewichte
Hinweise
Für kleine n bis 150 wird eine modifizierte Version des Golub-Welsch-Algorithmus verwendet. Die Knoten werden aus dem Eigenwertproblem berechnet und durch einen Schritt einer Newton-Iteration verbessert. Die Gewichte werden aus der bekannten analytischen Formel berechnet.
Für n größer als 150 wird ein optimaler asymptotischer Algorithmus angewendet, der Knoten und Gewichte numerisch stabil berechnet. Der Algorithmus hat eine lineare Laufzeit, was Berechnungen für sehr große n (mehrere tausend oder mehr) ermöglicht.
Referenzen
[townsend.trogdon.olver-2014]Townsend, A. und Trogdon, T. und Olver, S. (2014) Fast computation of Gauss quadrature nodes and weights on the whole real line. arXiv:1410.5286.
[townsend.trogdon.olver-2015]Townsend, A. und Trogdon, T. und Olver, S. (2015) Fast computation of Gauss quadrature nodes and weights on the whole real line. IMA Journal of Numerical Analysis DOI:10.1093/imanum/drv002.
[AS]Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Hrsg. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.