scipy.special.

roots_hermitenorm

scipy.special.roots_hermitenorm(n, mu=False)

Gauß-Hermite (Statistiker-) Quadratur.

Berechnet die Stichprobenpunkte und Gewichte für die Gauß-Hermite-Quadratur. Die Stichprobenpunkte sind die Wurzeln des Hermite-Polynoms vom Grad n, \(He_n(x)\). Diese Stichprobenpunkte und Gewichte integrieren Polynome vom Grad \(2n - 1\) oder kleiner über das Intervall \([-\infty, \infty]\) mit der Gewichtungsfunktion \(w(x) = e^{-x^2/2}\) korrekt. Siehe 22.2.15 in [AS] für weitere Details.

Parameter:

nint

Ordnung der Quadratur

mubool, optional

Wenn True, wird die Summe der Gewichte zurückgegeben, optional.

Rückgabe:

xndarray

Abtastpunkte

wndarray

Gewichte

mufloat

Summe der Gewichte

Siehe auch

scipy.integrate.fixed_quad

numpy.polynomial.hermite_e.hermegauss

Hinweise

Für kleine n bis 150 wird eine modifizierte Version des Golub-Welsch-Algorithmus verwendet. Die Knoten werden aus dem Eigenwertproblem berechnet und durch einen Schritt einer Newton-Iteration verbessert. Die Gewichte werden aus der bekannten analytischen Formel berechnet.

Für n größer als 150 wird ein optimaler asymptotischer Algorithmus verwendet, der Knoten und Gewichte auf numerisch stabile Weise berechnet. Der Algorithmus hat eine lineare Laufzeit, wodurch Berechnungen für sehr große n (mehrere tausend oder mehr) machbar werden.

Referenzen

[AS]

Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Hrsg. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.