scipy.special.yv#

scipy.special.yv(v, z, out=None) = <ufunc 'yv'>#

Bessel-Funktion der zweiten Art mit reeller Ordnung und komplexem Argument.

Parameter:

varray_like: Ordnung (float).
zarray_like: Argument (float oder komplex).
outndarray, optional: Optionales Ausgabe-Array für die Funktionsergebnisse

Rückgabe:

Yskalar oder ndarray: Wert der Bessel-Funktion der zweiten Art, \(Y_v(x)\).

Siehe auch

yve: \(Y_v\) mit gestripptem führenden exponentiellem Verhalten.
y0: schnellere Implementierung dieser Funktion für Ordnung 0
y1: schnellere Implementierung dieser Funktion für Ordnung 1

Hinweise

Für positive v-Werte wird die Berechnung mit der AMOS-Routine [1] zbesy durchgeführt, die die Verbindung zu den Hankel-Bessel-Funktionen \(H_v^{(1)}\) und \(H_v^{(2)}\) nutzt,

\[Y_v(z) = \frac{1}{2\imath} (H_v^{(1)} - H_v^{(2)}).\]

Für negative v-Werte wird die Formel,

\[Y_{-v}(z) = Y_v(z) \cos(\pi v) + J_v(z) \sin(\pi v)\]

verwendet, wobei \(J_v(z)\) die Bessel-Funktion der ersten Art ist, berechnet mit der AMOS-Routine zbesj. Beachten Sie, dass der zweite Term für ganzzahlige v genau Null ist; um die Genauigkeit zu verbessern, wird der zweite Term explizit für v-Werte weggelassen, für die v = floor(v) gilt.

Referenzen

[1]

Donald E. Amos, „AMOS, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order“, http://netlib.org/amos/

Beispiele

Auswertung der Funktion der Ordnung 0 an einem Punkt.

>>> from scipy.special import yv
>>> yv(0, 1.)
0.088256964215677

Auswertung der Funktion an einem Punkt für verschiedene Ordnungen.

>>> yv(0, 1.), yv(1, 1.), yv(1.5, 1.)
(0.088256964215677, -0.7812128213002889, -1.102495575160179)

Die Auswertung für verschiedene Ordnungen kann in einem Aufruf erfolgen, indem eine Liste oder ein NumPy-Array als Argument für den Parameter v übergeben wird.

>>> yv([0, 1, 1.5], 1.)
array([ 0.08825696, -0.78121282, -1.10249558])

Auswertung der Funktion an mehreren Punkten für Ordnung 0 durch Übergabe eines Arrays für z.

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([0.5, 3., 8.])
>>> yv(0, points)
array([-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149])

Wenn z ein Array ist, muss der Ordnungs-Parameter v so broadcastfähig sein, dass die korrekte Form entsteht, wenn in einem Aufruf unterschiedliche Ordnungen berechnet werden sollen. Um die Ordnungen 0 und 1 für ein 1D-Array zu berechnen

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> yv(orders, points)
array([[-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149],
       [-1.47147239,  0.32467442, -0.15806046]])

Plotten Sie die Funktionen der Ordnungen 0 bis 3 von 0 bis 10.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, yv(i, x), label=f'$Y_{i!r}$')
>>> ax.set_ylim(-3, 1)
>>> ax.legend()
>>> plt.show()