scipy.integrate.

qmc_quad#

scipy.integrate.qmc_quad(func, a, b, *, n_estimates=8, n_points=1024, qrng=None, log=False)[Quelle]#

Berechnet ein Integral in N-Dimensionen mittels Quasi-Monte-Carlo-Quadratur.

Parameter:

funccallable: Der Integrand. Muss ein einzelnes Argument x akzeptieren, ein Array, das den Punkt (die Punkte) angibt, an denen der skalare Integrand ausgewertet werden soll, und den Wert (die Werte) des Integranden zurückgeben. Zur Effizienz sollte die Funktion vektorisiert sein, um ein Array der Form (d, n_points) zu akzeptieren, wobei d die Anzahl der Variablen (d. h. die Dimensionalität des Funktionsbereichs) und n_points die Anzahl der Quadraturpunkte ist, und ein Array der Form (n_points,) zurückzugeben, den Integranden an jedem Quadraturpunkt.
a, barray-like: Eindimensionale Arrays, die die unteren und oberen Integrationsgrenzen für jede der d Variablen angeben.
n_estimates, n_pointsint, optional: n_estimates (Standard: 8) statistisch unabhängige QMC-Stichproben, jeweils mit n_points (Standard: 1024) Punkten, werden von qrng generiert. Die Gesamtzahl der Punkte, an denen der Integrand func ausgewertet wird, beträgt n_points * n_estimates. Siehe Hinweise für Details.
qrngQMCEngine, optional: Eine Instanz von QMCEngine, aus der QMC-Punkte abgeleitet werden. Die QMCEngine muss auf eine Anzahl von Dimensionen d initialisiert sein, die der Anzahl der Variablen x1, ..., xd entspricht, die an func übergeben werden. Die bereitgestellte QMCEngine wird verwendet, um die erste Integral-Schätzung zu erzeugen. Wenn n_estimates größer als eins ist, werden zusätzliche QMCEngines aus der ersten gespawnt (mit aktivierter Zufallsvermischung, falls dies eine Option ist). Wenn keine QMCEngine bereitgestellt wird, wird die Standard- scipy.stats.qmc.Halton mit der aus der Länge von a ermittelten Anzahl von Dimensionen initialisiert.
logboolean, Standard: False: Wenn auf True gesetzt, gibt func den Logarithmus des Integranden zurück, und das Ergebnisobjekt enthält den Logarithmus des Integrals.

Rückgabe:

resultobject

Ein Ergebnisobjekt mit Attributen

integralfloat: Die Schätzung des Integrals.
standard_error: Die Fehlerschätzung. Siehe Hinweise zur Interpretation.

Hinweise

Die Werte des Integranden an jedem der n_points Punkte einer QMC-Stichprobe werden verwendet, um eine Schätzung des Integrals zu erzeugen. Diese Schätzung wird aus einer Population möglicher Schätzungen des Integrals gezogen, deren Wert wir erhalten, hängt von den spezifischen Punkten ab, an denen das Integral ausgewertet wurde. Wir führen diesen Prozess n_estimates Mal durch, wobei wir jedes Mal den Integranden an verschiedenen zufällig vermischten QMC-Punkten auswerten, was effektiv i.i.d. Zufallsstichproben aus der Population der Integral-Schätzungen zieht. Der Stichprobenmittelwert \(m\) dieser Integral-Schätzungen ist ein unverzerrter Schätzer des wahren Wertes des Integrals, und der Standardfehler des Mittels \(s\) dieser Schätzungen kann verwendet werden, um Konfidenzintervalle mithilfe der t-Verteilung mit n_estimates - 1 Freiheitsgraden zu erzeugen. Vielleicht kontraintuitiv, aber eine Erhöhung von n_points bei gleichbleibender Gesamtzahl der Funktionsauswertungspunkte n_points * n_estimates tendiert dazu, den tatsächlichen Fehler zu reduzieren, während eine Erhöhung von n_estimates tendiert, die Fehlerschätzung zu verringern.

Beispiele

QMC-Quadratur ist besonders nützlich für die Berechnung von Integralen in höheren Dimensionen. Ein Beispiel für einen Integranden ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer multivariaten Normalverteilung.

>>> import numpy as np
>>> from scipy import stats
>>> dim = 8
>>> mean = np.zeros(dim)
>>> cov = np.eye(dim)
>>> def func(x):
...     # `multivariate_normal` expects the _last_ axis to correspond with
...     # the dimensionality of the space, so `x` must be transposed
...     return stats.multivariate_normal.pdf(x.T, mean, cov)

Zur Berechnung des Integrals über den Einheits-Hyperwürfel

>>> from scipy.integrate import qmc_quad
>>> a = np.zeros(dim)
>>> b = np.ones(dim)
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> qrng = stats.qmc.Halton(d=dim, seed=rng)
>>> n_estimates = 8
>>> res = qmc_quad(func, a, b, n_estimates=n_estimates, qrng=qrng)
>>> res.integral, res.standard_error
(0.00018429555666024108, 1.0389431116001344e-07)

Ein zweiseitiges 99%-Konfidenzintervall für das Integral kann geschätzt werden als

>>> t = stats.t(df=n_estimates-1, loc=res.integral,
...             scale=res.standard_error)
>>> t.interval(0.99)
(0.0001839319802536469, 0.00018465913306683527)

Tatsächlich liegt der von scipy.stats.multivariate_normal gemeldete Wert innerhalb dieses Bereichs.

>>> stats.multivariate_normal.cdf(b, mean, cov, lower_limit=a)
0.00018430867675187443