scipy.stats.normal_inverse_gamma#

scipy.stats.normal_inverse_gamma = <scipy.stats._multivariate.normal_inverse_gamma_gen object>[Quelle]#

Normal-Invers-Gamma-Verteilung.

Die Normal-Invers-Gamma-Verteilung ist die konjugierte Prior-Verteilung für eine Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz.

Parameter:

mu, lmbda, a, barray_like: Formparameter der Verteilung. Siehe Anmerkungen.
seed{None, int, np.random.RandomState, np.random.Generator}, optional: Wird zum Ziehen von Zufallsvarianten verwendet. Wenn seed None ist, wird die RandomState Singleton verwendet. Wenn seed eine Ganzzahl ist, wird eine neue RandomState-Instanz verwendet, die mit seed initialisiert wird. Wenn seed bereits eine RandomState- oder Generator-Instanz ist, wird dieses Objekt verwendet. Standard ist None.

Methoden

pdf(x, s2, mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
logpdf(x, s2, mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
mean(mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	Mittelwert der Verteilung.
var(mu=0, lmbda=1, a=1, b=1)	Varianz der Verteilung.
rvs(mu=0, lmbda=1, a=1, b=1, size=None, random_state=None)	Zufällige Stichproben ziehen.

Siehe auch

norm
invgamma

Hinweise

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von normal_inverse_gamma ist

\[f(x, \sigma^2; \mu, \lambda, \alpha, \beta) = \frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{\sigma^2} \right)^{\alpha + 1} \exp \left(- \frac{2 \beta + \lambda (x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right)\]

wobei alle Parameter reell und endlich sind und \(\sigma^2 > 0\), \(\lambda > 0\), \(\alpha > 0\) und \(\beta > 0\).

Die Methoden normal_inverse_gamma.pdf und normal_inverse_gamma.logpdf akzeptieren x und s2 für die Argumente \(x\) und \(\sigma^2\). Alle Methoden akzeptieren mu, lmbda, a und b für die Formparameter \(\mu\), \(\lambda\), \(\alpha\) und \(\beta\).

Hinzugefügt in Version 1.15.

Referenzen

[1]

Normal-Invers-Gamma-Verteilung, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Normal-inverse-gamma_distribution

Beispiele

Angenommen, wir möchten den Zusammenhang zwischen der Normal-Invers-Gamma-Verteilung und der Invers-Gamma-Verteilung untersuchen.

>>> import numpy as np
>>> from scipy import stats
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> mu, lmbda, a, b = 0, 1, 20, 20
>>> norm_inv_gamma = stats.normal_inverse_gamma(mu, lmbda, a, b)
>>> inv_gamma = stats.invgamma(a, scale=b)

Ein Ansatz ist, die Verteilung der s2-Elemente von Zufallsvariablen mit der PDF einer Invers-Gamma-Verteilung zu vergleichen.

>>> _, s2 = norm_inv_gamma.rvs(size=10000, random_state=rng)
>>> bins = np.linspace(s2.min(), s2.max(), 50)
>>> plt.hist(s2, bins=bins, density=True, label='Frequency density')
>>> s2 = np.linspace(s2.min(), s2.max(), 300)
>>> plt.plot(s2, inv_gamma.pdf(s2), label='PDF')
>>> plt.xlabel(r'$\sigma^2$')
>>> plt.ylabel('Frequency density / PMF')
>>> plt.show()

../../_images/scipy-stats-normal_inverse_gamma-1_00_00.png

Ebenso können wir die marginale Verteilung von s2 mit einer Invers-Gamma-Verteilung vergleichen.

>>> from scipy.integrate import quad_vec
>>> from scipy import integrate
>>> s2 = np.linspace(0.5, 3, 6)
>>> res = quad_vec(lambda x: norm_inv_gamma.pdf(x, s2), -np.inf, np.inf)[0]
>>> np.allclose(res, inv_gamma.pdf(s2))
True

Der Stichprobenmittelwert ist mit dem Mittelwert der Verteilung vergleichbar.

>>> x, s2 = norm_inv_gamma.rvs(size=10000, random_state=rng)
>>> x.mean(), s2.mean()
(np.float64(-0.005254750127304425), np.float64(1.050438111436508))
>>> norm_inv_gamma.mean()
(np.float64(0.0), np.float64(1.0526315789473684))

Ähnlich gilt für die Varianz

>>> x.var(ddof=1), s2.var(ddof=1)
(np.float64(1.0546150578185023), np.float64(0.061829865266330754))
>>> norm_inv_gamma.var()
(np.float64(1.0526315789473684), np.float64(0.061557402277623886))