Inverse Normal (Inverse Gaussian) Verteilung

Die Standardform beinhaltet den Formparameter \(\mu\) (in den meisten Definitionen wird \(L=0.0\) verwendet). (Im Sinne der Regress-Dokumentation ist \(\mu=A/B\) ) und \(B=S\) und \(L\) ist kein Parameter in dieser Verteilung. Eine Standardform ist \((x>0)\)

\begin{eqnarray*} f\left(x;\mu\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi x^{3}}}\exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2x\mu^{2}}\right).\\ F\left(x;\mu\right) & = & \Phi\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x-\mu}{\mu}\right)+\exp\left(\frac{2}{\mu}\right)\Phi\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{x+\mu}{\mu}\right)\\ G\left(q;\mu\right) & = & F^{-1}\left(q;\mu\right)\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \mu & = & \mu\\ \mu_{2} & = & \mu^{3}\\ \gamma_{1} & = & 3\sqrt{\mu}\\ \gamma_{2} & = & 15\mu\\ m_{d} & = & \frac{\mu}{2}\left(\sqrt{9\mu^{2}+4}-3\mu\right)\end{eqnarray*}

Dies steht im Zusammenhang mit der kanonischen Form oder der JKB "Zwei-Parameter"-Inversen Gauß-Verteilung, wenn sie in ihrer vollständigen Form mit dem Skalenparameter \(S\) und dem Lokationsparameter \(L\) geschrieben wird, indem \(L=0\) und \(S\equiv\lambda\) gesetzt werden. Dann ist \(\mu S\) gleich \(\mu_{2}\), wobei \(\mu_{2}\) der von JKB verwendete Parameter ist. Wir bevorzugen diese Form wegen der konsistenten Verwendung des Skalenparameters. Beachten Sie, dass bei JKB die Schiefe ( \(\sqrt{\beta_{1}}\) ) und die Kurtosis ( \(\beta_{2}-3\) ) beides nur Funktionen von \(\mu_{2}/\lambda=\mu S/S=\mu\) sind, wie hier gezeigt, während die Varianz und der Mittelwert der Standardform hier entsprechend transformiert sind.

Implementierung: scipy.stats.invgauss