KSone Verteilung

Dies ist die Verteilung der maximalen positiven Differenzen zwischen einer empirischen Verteilungsfunktion, die aus \(n\) Stichproben oder Beobachtungen berechnet wurde, und einer Vergleichs- (oder Ziel-) kumulativen Verteilungsfunktion.

Wenn man \(D_n^+ = \sup_t \left(F_{empirisch,n}(t)-F_{Ziel}(t)\right)\) schreibt, ist ksone die Verteilung der \(D_n^+\) Werte. (Die Verteilung der \(D_n^- = \sup_t \left(F_{Ziel}(t)-F_{empirisch,n}(t)\right)\) Differenzen folgt derselben Verteilung, sodass ksone für einseitige Tests auf beiden Seiten verwendet werden kann.)

Es gibt einen Formparameter \(n\), eine positive ganze Zahl, und der Träger ist \(x\in\left[0,1\right]\).

\begin{eqnarray*} F\left(n, x\right) & = & 1 - \sum_{j=0}^{\lfloor n(1-x)\rfloor} \dbinom{n}{j} x \left(x+\frac{j}{n}\right)^{j-1} \left(1-x-\frac{j}{n}\right)^{n-j}\\ & = & 1 - \textrm{scipy.special.smirnov}(n, x) \\ \lim_{n \rightarrow\infty} F\left(n, \frac{x}{\sqrt n}\right) & = & e^{-2 x^2} \end{eqnarray*}

Referenzen

• „Kolmogorov-Smirnov-Test“, Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov-Smirnov_test

• Birnbaum, Z. W.; Tingey, Fred H. "One-Sided Confidence Contours for Probability Distribution Functions." Ann. Math. Statist. 22 (1951), Nr. 4, 592–596.

Implementierung: scipy.stats.ksone