Nichtzentrale F-Verteilung

Die Verteilung von \(\left(X_{1}/X_{2}\right)\left(\nu_{2}/\nu_{1}\right)\), wenn \(X_{1}\) eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit \(\nu_{1}\) Freiheitsgraden und Parameter \(\lambda\) ist, und \(X_{2}\) eine Chi-Quadrat-Verteilung mit \(\nu_{2}\) Freiheitsgraden ist.

Es gibt 3 Formparameter: die Freiheitsgrade \(\nu_{1}>0\) und \(\nu_{2}>0\); und \(\lambda\geq 0\).

\begin{eqnarray*} f\left(x;\lambda,\nu_{1},\nu_{2}\right) & = & \exp\left[\frac{\lambda}{2} + \frac{\left(\lambda\nu_{1}x\right)} {2\left(\nu_{1}x+\nu_{2}\right)} \right] \nu_{1}^{\nu_{1}/2}\nu_{2}^{\nu_{2}/2}x^{\nu_{1}/2-1} \\ & & \times\left(\nu_{2}+\nu_{1}x\right)^{-\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right)/2} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(1+\frac{\nu_{2}}{2}\right) L_{\nu_{2}/2}^{\nu_{1}/2-1} \left(-\frac{\lambda\nu_{1}x} {2\left(\nu_{1}x+\nu_{2}\right)}\right)} {B\left(\frac{\nu_{1}}{2},\frac{\nu_{2}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)} \end{eqnarray*}

wobei \(L_{\nu_{2}/2}^{\nu_{1}/2-1}(x)\) ein zugeordnetes Laguerre-Polynom ist.

Wenn \(\lambda=0\), wird die Verteilung äquivalent zur Fisher-Verteilung mit \(\nu_{1}\) und \(\nu_{2}\) Freiheitsgraden.

Implementierung: scipy.stats.ncf