scipy.interpolate.

lagrange#

scipy.interpolate.lagrange(x, w)[Quelle]#

Gibt ein Lagrange-Interpolationspolynom zurück.

Gegeben zwei 1-D-Arrays x und w, gibt das Lagrange-Interpolationspolynom durch die Punkte (x, w) zurück.

Warnung: Diese Implementierung ist numerisch instabil. Erwarten Sie nicht, mehr als etwa 20 Punkte verwenden zu können, selbst wenn diese optimal gewählt sind.

Parameter:

xarray_like: x repräsentiert die x-Koordinaten einer Menge von Datenpunkten.
warray_like: w repräsentiert die y-Koordinaten einer Menge von Datenpunkten, d. h. f(x).

Rückgabe:

lagrangenumpy.poly1d Instanz: Das Lagrange-Interpolationspolynom.

Hinweise

Der Name dieser Funktion bezieht sich auf die Tatsache, dass das zurückgegebene Objekt ein Lagrange-Polynom darstellt, das eindeutige Polynom niedrigsten Grades, das eine gegebene Menge von Daten interpoliert [1]. Es berechnet das Polynom mithilfe der Formel für Newtonsche dividierte Differenzen [2]; das heißt, es arbeitet mit Newtonschen Basispoylnomen anstelle von Lagrange-Basispoylnomen. Für numerische Berechnungen ist die baryzentrische Form der Lagrange-Interpolation (scipy.interpolate.BarycentricInterpolator) typischerweise besser geeignet.

Referenzen

[1]

Lagrange-Polynom. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial

[2]

Newton-Polynom. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial

Beispiele

Interpoliere \(f(x) = x^3\) mit 3 Punkten.

>>> import numpy as np
>>> from scipy.interpolate import lagrange
>>> x = np.array([0, 1, 2])
>>> y = x**3
>>> poly = lagrange(x, y)

Da es nur 3 Punkte gibt, hat das Lagrange-Polynom den Grad 2. Explizit ist es gegeben durch

\[\begin{split}\begin{aligned} L(x) &= 1\times \frac{x (x - 2)}{-1} + 8\times \frac{x (x-1)}{2} \\ &= x (-2 + 3x) \end{aligned}\end{split}\]

>>> from numpy.polynomial.polynomial import Polynomial
>>> Polynomial(poly.coef[::-1]).coef
array([ 0., -2.,  3.])

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x_new = np.arange(0, 2.1, 0.1)
>>> plt.scatter(x, y, label='data')
>>> plt.plot(x_new, Polynomial(poly.coef[::-1])(x_new), label='Polynomial')
>>> plt.plot(x_new, 3*x_new**2 - 2*x_new + 0*x_new,
...          label=r"$3 x^2 - 2 x$", linestyle='-.')
>>> plt.legend()
>>> plt.show()

../../_images/scipy-interpolate-lagrange-1.png