scipy.sparse.linalg.

cg#

scipy.sparse.linalg.cg(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None)[Quelle]#

Lösen Sie Ax = b mit der Methode der konjugierten Gradienten für eine symmetrische, positiv-definitive A.

Parameter:

A{sparse array, ndarray, LinearOperator}: Die reelle oder komplexe N-mal-N-Matrix des linearen Systems. A muss eine hermitesche, positiv-definitive Matrix darstellen. Alternativ kann A ein linearer Operator sein, der Ax mithilfe von z. B. scipy.sparse.linalg.LinearOperator erzeugen kann.
bndarray: Rechte Seite des linearen Systems. Hat die Form (N,) oder (N,1).
x0ndarray: Startschätzung für die Lösung.
rtol, atolfloat, optional: Parameter für den Konvergenztest. Für Konvergenz sollte norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol) erfüllt sein. Der Standardwert ist atol=0. und rtol=1e-5.
maxiterinteger: Maximale Anzahl von Iterationen. Die Iteration wird nach maxiter-Schritten beendet, auch wenn die angegebene Toleranz nicht erreicht wurde.
M{sparse array, ndarray, LinearOperator}: Präkonditionierer für A. M muss eine hermitesche, positiv-definitive Matrix darstellen. Sie sollte die Inverse von A approximieren (siehe Hinweise). Effektive Präkonditionierung verbessert dramatisch die Konvergenzrate, was bedeutet, dass weniger Iterationen benötigt werden, um eine gegebene Fehlertoleranz zu erreichen.
callbackfunction: Vom Benutzer bereitgestellte Funktion, die nach jeder Iteration aufgerufen wird. Sie wird als callback(xk) aufgerufen, wobei xk der aktuelle Lösungsvektor ist.

Rückgabe:

xndarray

Die konvergierte Lösung.

infointeger

Liefert Konvergenzinformationen: 0 : erfolgreicher Abbruch >0 : Konvergenz zur Toleranz nicht erreicht, Anzahl der Iterationen

Hinweise

Der Präkonditionierer M sollte eine Matrix sein, so dass M @ A eine kleinere Konditionszahl als A hat, siehe [2].

Referenzen

[1]

„Methode der konjugierten Gradienten, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method

[2]

„Vorkonditionierer“, Wikipedia, https://de.wikipedia.org/wiki/Vorkonditionierer

Beispiele

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import cg
>>> P = np.array([[4, 0, 1, 0],
...               [0, 5, 0, 0],
...               [1, 0, 3, 2],
...               [0, 0, 2, 4]])
>>> A = csc_array(P)
>>> b = np.array([-1, -0.5, -1, 2])
>>> x, exit_code = cg(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exit_code)    # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True