scipy.sparse.linalg.

tfqmr#

scipy.sparse.linalg.tfqmr(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None, show=False)[Quelle]#

Löse Ax = b mit der Transpose-Free Quasi-Minimal Residual Methode.

Parameter:

A{sparse array, ndarray, LinearOperator}: Die reelle oder komplexe N-mal-N-Matrix des linearen Systems. Alternativ kann A ein linearer Operator sein, der Ax erzeugen kann, z.B. mit scipy.sparse.linalg.LinearOperator.
b{ndarray}: Rechte Seite des linearen Systems. Hat die Form (N,) oder (N,1).
x0{ndarray}: Startschätzung für die Lösung.
rtol, atolfloat, optional: Parameter für den Konvergenztest. Für Konvergenz sollte norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol) erfüllt sein. Der Standardwert ist rtol=1e-5, der Standardwert für atol ist 0.0.
maxiterint, optional: Maximale Anzahl von Iterationen. Die Iteration stoppt nach maxiter Schritten, auch wenn die angegebene Toleranz nicht erreicht wurde. Standard ist min(10000, ndofs * 10), wobei ndofs = A.shape[0].
M{sparse array, ndarray, LinearOperator}: Inverse des Vorbedingers von A. M sollte die Inverse von A approximieren und leicht lösbar sein (siehe Anmerkungen). Effektive Vorbedingung verbessert die Konvergenzrate dramatisch, was bedeutet, dass weniger Iterationen benötigt werden, um eine gegebene Fehlertoleranz zu erreichen. Standardmäßig wird kein Vorbedingung verwendet.
callbackfunction, optional: Vom Benutzer bereitgestellte Funktion, die nach jeder Iteration aufgerufen wird. Sie wird als callback(xk) aufgerufen, wobei xk der aktuelle Lösungsvektor ist.
showbool, optional: Setzen Sie show = True, um die Konvergenz anzuzeigen, show = False schließt die Ausgabe der Konvergenz. Standard ist False.

Rückgabe:

xndarray

Die konvergierte Lösung.

infoint

Liefert Konvergenzinformationen

0 : erfolgreicher Abschluss

>0 : Konvergenz zur Toleranz nicht erreicht, Anzahl der Iterationen

<0 : ungültige Eingabe oder Zusammenbruch

Hinweise

Der Transpose-Free QMR-Algorithmus leitet sich vom CGS-Algorithmus ab. Im Gegensatz zu CGS werden die Konvergenzkurven für die TFQMR-Methode jedoch geglättet, indem eine Quasi-Minimierung der Residuen-Norm berechnet wird. Die Implementierung unterstützt linke Vorbedingungen, und die „Residuen-Norm“, die im Konvergenzkriterium berechnet wird, ist tatsächlich eine obere Schranke für die tatsächliche Residuen-Norm ||b - Axk||.

Referenzen

[1]

R. W. Freund, A Transpose-Free Quasi-Minimal Residual Algorithm for Non-Hermitian Linear Systems, SIAM J. Sci. Comput., 14(2), 470-482, 1993.

[2]

Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, Philadelphia, 2003.

[3]

C. T. Kelley, Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, number 16 in Frontiers in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1995.

Beispiele

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import tfqmr
>>> A = csc_array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = tfqmr(A, b, atol=0.0)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True