scipy.special.elliprf#

scipy.special.elliprf(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprf'>#

Vollständig symmetrisches elliptisches Integral erster Art.

Die Funktion RF ist definiert als [1]

\[R_{\mathrm{F}}(x, y, z) = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2} dt\]

Parameter:

x, y, zarray_like: Reelle oder komplexe Eingabeparameter. x, y oder z können beliebige Zahlen in der komplexen Ebene sein, die entlang der negativen reellen Achse geschnitten ist, aber höchstens eine davon kann Null sein.
outndarray, optional: Optionales Ausgabe-Array für die Funktionswerte

Rückgabe:

RSkalar oder ndarray: Wert des Integrals. Wenn alle x, y und z reell sind, ist der Rückgabewert reell. Andernfalls ist der Rückgabewert komplex.

Siehe auch

elliprc: Degeneriertes symmetrisches Integral.
elliprd: Symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.
elliprg: Vollständig symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.
elliprj: Symmetrisches elliptisches Integral dritter Art.

Hinweise

Der Code implementiert Carlso ns Algorithmus, der auf Duplikationstheoremen und Reihenentwicklungen bis zur 7. Ordnung basiert (vgl.: https://dlmf.nist.gov/19.36.i) und den AGM-Algorithmus für das vollständige Integral. [2]

Hinzugefügt in Version 1.8.0.

Referenzen

[1]

B. C. Carlson, hrsg., Kapitel 19 in „Digital Library of Mathematical Functions“, NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E1

[2]

B. C. Carlson, „Numerical computation of real or complex elliptic integrals“, Numer. Algorithm, Bd. 10, Nr. 1, S. 13–26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

Beispiele

Grundlegende Homogenitätseigenschaft

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprf

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprf(scale*x, scale*y, scale*z)
(0.5328051227278146-0.4008623567957094j)

>>> elliprf(x, y, z)/np.sqrt(scale)
(0.5328051227278147-0.4008623567957095j)

Alle drei Argumente stimmen überein

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprf(x, x, x)
(0.42991731206146316-0.30417298187455954j)

>>> 1/np.sqrt(x)
(0.4299173120614631-0.30417298187455954j)

Die sogenannte „erste Lemniskatenkonstante“

>>> elliprf(0, 1, 2)
1.3110287771460598

>>> from scipy.special import gamma
>>> gamma(0.25)**2/(4*np.sqrt(2*np.pi))
1.3110287771460598