scipy.special.elliprg#

scipy.special.elliprg(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprg'>#

Vollständig symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.

Die Funktion RG ist definiert als [1]

\[R_{\mathrm{G}}(x, y, z) = \frac{1}{4} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2} \left(\frac{x}{t + x} + \frac{y}{t + y} + \frac{z}{t + z}\right) t dt\]

Parameter:

x, y, zarray_like: Reale oder komplexe Eingabeparameter. x, y oder z können beliebige Zahlen in der komplexen Ebene sein, die entlang der negativen reellen Achse geschnitten ist.
outndarray, optional: Optionales Ausgabe-Array für die Funktionswerte

Rückgabe:

RSkalar oder ndarray: Wert des Integrals. Wenn alle x, y und z reell sind, ist der Rückgabewert reell. Andernfalls ist der Rückgabewert komplex.

Siehe auch

elliprc: Degeneriertes symmetrisches Integral.
elliprd: Symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.
elliprf: Vollständig symmetrisches elliptisches Integral erster Art.
elliprj: Symmetrisches elliptisches Integral dritter Art.

Hinweise

Die Implementierung verwendet die Beziehung [1]

\[2 R_{\mathrm{G}}(x, y, z) = z R_{\mathrm{F}}(x, y, z) - \frac{1}{3} (x - z) (y - z) R_{\mathrm{D}}(x, y, z) + \sqrt{\frac{x y}{z}}\]

und die Symmetrie von x, y, z, wenn mindestens ein Nicht-Null-Parameter als Drehpunkt gewählt werden kann. Wenn eines der Argumente nahe Null ist, wird stattdessen die AGM-Methode angewendet. Andere Sonderfälle werden gemäß Ref. [2] berechnet.

Hinzugefügt in Version 1.8.0.

Referenzen

[1] (1,2)

B. C. Carlson, „Numerical computation of real or complex elliptic integrals“, Numer. Algorithm, Bd. 10, Nr. 1, S. 13–26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

[2]

B. C. Carlson, hrsg., Kapitel 19 in „Digital Library of Mathematical Functions“, NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E1 https://dlmf.nist.gov/19.20.ii

Beispiele

Grundlegende Homogenitätseigenschaft

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprg

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprg(scale*x, scale*y, scale*z)
(1.195936862005246+0.8470988320464167j)

>>> elliprg(x, y, z)*np.sqrt(scale)
(1.195936862005246+0.8470988320464165j)

Vereinfachungen

>>> elliprg(0, y, y)
1.756203682760182

>>> 0.25*np.pi*np.sqrt(y)
1.7562036827601817

>>> elliprg(0, 0, z)
1.224744871391589

>>> 0.5*np.sqrt(z)
1.224744871391589

Die Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids mit den Halbachsen a, b und c ist gegeben durch

\[S = 4 \pi a b c R_{\mathrm{G}}(1 / a^2, 1 / b^2, 1 / c^2).\]

>>> def ellipsoid_area(a, b, c):
...     r = 4.0 * np.pi * a * b * c
...     return r * elliprg(1.0 / (a * a), 1.0 / (b * b), 1.0 / (c * c))
>>> print(ellipsoid_area(1, 3, 5))
108.62688289491807