scipy.special.hyp2f1#

scipy.special.hyp2f1(a, b, c, z, out=None) = <ufunc 'hyp2f1'>#

Gaußsche hypergeometrische Funktion 2F1(a, b; c; z)

Parameter:

a, b, carray_like: Argumente, sollten reellwertig sein.
zarray_like: Argument, reell oder komplex.
outndarray, optional: Optionales Ausgabe-Array für die Funktionswerte

Rückgabe:

hyp2f1skalar oder ndarray: Die Werte der Gaußschen hypergeometrischen Funktion.

Siehe auch

hyp0f1: konfluente hypergeometrische Grenzfunktion.
hyp1f1: Kummerkummer’s (konfluente hypergeometrische) Funktion.

Hinweise

Diese Funktion ist für \(|z| < 1\) definiert als

\[\mathrm{hyp2f1}(a, b, c, z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!},\]

und auf dem Rest der komplexen z-Ebene durch analytische Fortsetzung [1] definiert. Hier ist \((\cdot)_n\) das Pochhammer-Symbol; siehe poch. Wenn \(n\) eine ganze Zahl ist, ist das Ergebnis ein Polynom vom Grad \(n\).

Die Implementierung für komplexe Werte von z ist in [2] beschrieben, außer für z in dem Bereich, der definiert ist durch

\[0.9 <= \left|z\right| < 1.1, \left|1 - z\right| >= 0.9, \mathrm{real}(z) >= 0\]

in dem die Implementierung [4] folgt.

Referenzen

[1]

NIST Digital Library of Mathematical Functions https://dlmf.nist.gov/15.2

[2]

Zhang und J.M. Jin, „Computation of Special Functions“, Wiley 1996

[3]

Cephes Mathematical Functions Library, http://www.netlib.org/cephes/

[4]

J.L. Lopez und N.M. Temme, „New series expansions of the Gauss hypergeometric function“, Adv Comput Math 39, 349-365 (2013). https://doi.org/10.1007/s10444-012-9283-y

Beispiele

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

Sie hat Pole, wenn c eine negative ganze Zahl ist.

>>> sc.hyp2f1(1, 1, -2, 1)
inf

Sie ist ein Polynom, wenn a oder b eine negative ganze Zahl ist.

>>> a, b, c = -1, 1, 1.5
>>> z = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, c, z)
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])
>>> 1 + a * b * z / c
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])

Sie ist symmetrisch in a und b.

>>> a = np.linspace(0, 1, 5)
>>> b = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])
>>> sc.hyp2f1(b, a, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])

Sie enthält viele andere Funktionen als Spezialfälle.

>>> z = 0.5
>>> sc.hyp2f1(1, 1, 2, z)
1.3862943611198901
>>> -np.log(1 - z) / z
1.3862943611198906

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, z**2)
1.098612288668109
>>> np.log((1 + z) / (1 - z)) / (2 * z)
1.0986122886681098

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, -z**2)
0.9272952180016117
>>> np.arctan(z) / z
0.9272952180016122