scipy.special.spence

scipy.special.spence(z, out=None) = <ufunc 'spence'>

Spencesche Funktion, auch bekannt als Dilogarithmus.

Sie ist definiert als

\[\int_1^z \frac{\log(t)}{1 - t}dt\]

für komplexe \(z\), wobei der Integrationsweg so gewählt wird, dass der Zweig von $\log(t)$ vermieden wird. Spencesche Funktion ist überall analytisch außer auf der negativen reellen Achse, wo sie einen Zweigschnitt hat.

Parameter:

zarray_like

Punkte, an denen die Spencesche Funktion ausgewertet werden soll

outndarray, optional

Optionales Ausgabe-Array für die Funktionsergebnisse

Rückgabe:

sSkalar oder ndarray

Berechnete Werte der Spenceschen Funktion

Hinweise

Es gibt eine andere Konvention, die Spencesche Funktion durch das Integral definiert

\[-\int_0^z \frac{\log(1 - t)}{t}dt;\]

dies ist unser spence(1 - z).

Beispiele

Probieren Sie es in Ihrem Browser aus!

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import spence
>>> import matplotlib.pyplot as plt

Die Funktion ist für komplexe Eingaben definiert

>>> spence([1-1j, 1.5+2j, 3j, -10-5j])
array([-0.20561676+0.91596559j, -0.86766909-1.39560134j,
       -0.59422064-2.49129918j, -1.14044398+6.80075924j])

Für komplexe Eingaben auf dem Zweigschnitt, der negativen reellen Achse, gibt die Funktion den Grenzwert für z mit positivem Imaginärteil zurück. Beachten Sie beispielsweise im Folgenden die Vorzeichenänderung des Imaginärteils des Ergebnisses für z = -2 und z = -2 - 1e-8j

>>> spence([-2 + 1e-8j, -2, -2 - 1e-8j])
array([2.32018041-3.45139229j, 2.32018042-3.4513923j ,
       2.32018041+3.45139229j])

Die Funktion gibt nan für reelle Eingaben auf dem Zweigschnitt zurück

>>> spence(-1.5)
nan

Überprüfen Sie einige spezielle Werte: spence(0) = pi**2/6, spence(1) = 0 und spence(2) = -pi**2/12.

>>> spence([0, 1, 2])
array([ 1.64493407,  0.        , -0.82246703])
>>> np.pi**2/6, -np.pi**2/12
(1.6449340668482264, -0.8224670334241132)

Überprüfen Sie die Identität

spence(z) + spence(1 - z) = pi**2/6 - log(z)*log(1 - z)

>>> z = 3 + 4j
>>> spence(z) + spence(1 - z)
(-2.6523186143876067+1.8853470951513935j)
>>> np.pi**2/6 - np.log(z)*np.log(1 - z)
(-2.652318614387606+1.885347095151394j)

Plotten Sie die Funktion für positive reelle Eingaben.

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0, 6, 400)
>>> ax.plot(x, spence(x))
>>> ax.grid()
>>> ax.set_xlabel('x')
>>> ax.set_title('spence(x)')
>>> plt.show()

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