KStwobign-Verteilung#

Dies ist die Grenzverteilung der normalisierten maximalen absoluten Differenzen zwischen einer empirischen Verteilungsfunktion, berechnet aus \(n\) Stichproben oder Beobachtungen, und einer Vergleichs- (oder Ziel-) kumulativen Verteilungsfunktion. (ksone ist die Verteilung der unnormalisierten positiven Differenzen, \(D_n^+\).)

Wenn wir \(D_n = \sup_t \left|F_{empirical,n}(t) - F_{target}(t)\right|\) schreiben, ist der Normierungsfaktor \(\sqrt{n}\), und kstwobign ist die Grenzverteilung der \(\sqrt{n} D_n\)-Werte für \(n\rightarrow\infty\).

Beachten Sie, dass \(D_n=\max(D_n^+, D_n^-)\) ist, aber \(D_n^+\) und \(D_n^-\) nicht unabhängig sind.

kstwobign kann auch mit den Differenzen zwischen zwei empirischen Verteilungsfunktionen verwendet werden, für Stichprobensätze mit \(m\) bzw. \(n\) Beobachtungen, wobei \(m\) und \(n\) „groß“ sind. Wenn wir \(D_{m,n} = \sup_t \left|F_{1,m}(t)-F_{2,n}(t)\right|\) schreiben, wobei \(F_{1,m}\) und \(F_{2,n}\) die beiden empirischen Verteilungsfunktionen sind, dann ist kstwobign auch die Grenzverteilung der \(\sqrt{\frac{mn}{m+n}}D_{m,n}\)-Werte, für \(m,n\rightarrow\infty\) und \(m/n\rightarrow a \ne 0, \infty\).

Es gibt keine Formparameter, und der Träger ist \(x\in\left[0,\infty\right)\).

\begin{eqnarray*} F\left(x\right) & = & 1 - 2 \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} e^{-2k^2 x^2}\\ & = & \frac{\sqrt{2\pi}}{x} \sum_{k=1}^{\infty} e^{-(2k-1)^2 \pi^2/(8x^2)}\\ & = & 1 - \textrm{scipy.special.kolmogorov}(n, x) \\ f\left(x\right) & = & 8x \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} k^2 e^{-2k^2 x^2} \end{eqnarray*}

Referenzen#

  • „Kolmogorov-Smirnov-Test“, Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov-Smirnov_test

  • Kolmogoroff, A. „Confidence Limits for an Unknown Distribution Function.“” Ann. Math. Statist. 12 (1941), no. 4, 461–463.

  • Smirnov, N. „On the estimation of the discrepancy between empirical curves of distribution for two independent samples“ Bull. Math. Univ. Moscou., 2 (1039), 2-26.

  • Feller, W. „On the Kolmogorov-Smirnov Limit Theorems for Empirical Distributions.“ Ann. Math. Statist. 19 (1948), no. 2, 177–189. und „Errata“ Ann. Math. Statist. 21 (1950), no. 2, 301–302.

Implementierung: scipy.stats.kstwobign

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