Von Mises Verteilung

Es gibt einen Formparameter \(\kappa>0\) mit dem Träger \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\). Für Werte von \(\kappa<100\) werden die unten stehenden Formeln für PDF und CDF verwendet. Andernfalls wird eine Normalnäherung mit einer Varianz von \(\kappa\) verwendet. [Beachten Sie, dass die unten stehenden PDF- und CDF-Funktionen periodisch mit der Periode \(\pi\) sind. Wenn ein Wert außerhalb von \(\pi\) eingegeben wird, wird er in den entsprechenden Winkel in diesem Bereich umgewandelt.]

\begin{eqnarray*} f\left(x;\kappa\right) & = & \frac{e^{\kappa\cos x}}{2\pi I_{0}\left(\kappa\right)}\\ F\left(x;\kappa\right) & = & \frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{I_{k}\left(\kappa\right)\sin\left(kx\right)}{I_{0}\left(\kappa\right)\pi k}\\ G\left(q; \kappa\right) & = & F^{-1}\left(x;\kappa\right)\end{eqnarray*}

wobei \(I_{k}(\kappa)\) eine modifizierte Besselfunktion erster Art ist.

\begin{eqnarray*} \mu & = & 0\\ \mu_{2} & = & \int_{-\pi}^{\pi}x^{2}f\left(x;\kappa\right)dx\\ \gamma_{1} & = & 0\\ \gamma_{2} & = & \frac{\int_{-\pi}^{\pi}x^{4}f\left(x;\kappa\right)dx}{\mu_{2}^{2}}-3\end{eqnarray*}

Dies kann zur Definition der zirkulären Varianz verwendet werden.

Implementierung: scipy.stats.vonmises