Negativ Binomialverteilung

Die negativ binomiale Zufallsvariable mit den Parametern \(n\) und \(p\in\left(0,1\right)\) kann als die Anzahl der zusätzlichen unabhängigen Versuche (über \(n\) hinaus) definiert werden, die benötigt werden, um insgesamt \(n\) Erfolge zu erzielen, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch \(p\) ist. Äquivalent dazu ist diese Zufallsvariable die Anzahl der Misserfolge, die beim Erzielen von \(n\) Erfolgen während unabhängiger Versuche eines Experiments mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von \(p\) anfallen. Daher,

\begin{eqnarray*} p\left(k;n,p\right) & = & \left(\begin{array}{c} k+n-1\\ n-1\end{array}\right)p^{n}\left(1-p\right)^{k}\quad k\geq0\\ F\left(x;n,p\right) & = & \sum_{i=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor }\left(\begin{array}{c} i+n-1\\ i\end{array}\right)p^{n}\left(1-p\right)^{i}\quad x\geq0\\ & = & I_{p}\left(n,\left\lfloor x\right\rfloor +1\right)\quad x\geq0\\ \mu & = & n\frac{1-p}{p}\\ \mu_{2} & = & n\frac{1-p}{p^{2}}\\ \gamma_{1} & = & \frac{2-p}{\sqrt{n\left(1-p\right)}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{p^{2}+6\left(1-p\right)}{n\left(1-p\right)}.\end{eqnarray*}

Zur Erinnerung: \(I_{p}\left(a,b\right)\) ist das unvollständige Beta-Integral.

Implementierung: scipy.stats.nbinom