Poisson-Verteilung

Die Poisson-Zufallsvariable zählt die Anzahl der Erfolge in \(n\) unabhängigen Bernoulli-Versuchen im Grenzwert \(n\rightarrow\infty\) und \(p\rightarrow0\), wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch \(p\) ist und \(np=\lambda\geq0\) eine Konstante ist. Sie kann verwendet werden, um die Binomial-Zufallsvariable zu approximieren oder um die Anzahl der Ereignisse zu zählen, die in einem Intervall \(\left[0,t\right]\) für einen Prozess auftreten, der bestimmte "Sparsamkeits"-Bedingungen erfüllt. Die Funktionen sind

\begin{eqnarray*} p\left(k;\lambda\right) & = & e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\quad k\geq0,\\ F\left(x;\lambda\right) & = & \sum_{n=0}^{\left\lfloor x\right\rfloor }e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}=\frac{1}{\Gamma\left(\left\lfloor x\right\rfloor +1\right)}\int_{\lambda}^{\infty}t^{\left\lfloor x\right\rfloor }e^{-t}dt,\\ \mu & = & \lambda\\ \mu_{2} & = & \lambda\\ \gamma_{1} & = & \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{1}{\lambda}.\end{eqnarray*}

\[M\left(t\right)=\exp\left[\lambda\left(e^{t}-1\right)\right].\]

Implementierung: scipy.stats.poisson