scipy.special.ellipe#

scipy.special.ellipe(m, out=None) = <ufunc 'ellipe'>#

Vollständiges elliptisches Integral zweiter Art

Diese Funktion ist definiert als

\[E(m) = \int_0^{\pi/2} [1 - m \sin(t)^2]^{1/2} dt\]

Parameter:

marray_like: Definiert den Parameter des elliptischen Integrals.
outndarray, optional: Optionales Ausgabe-Array für die Funktionswerte

Rückgabe:

ESkalar oder ndarray: Wert des elliptischen Integrals.

Siehe auch

ellipkm1: Vollständiges elliptisches Integral erster Art, nahe m = 1
ellipk: Vollständiges elliptisches Integral erster Art
ellipkinc: Unvollständiges elliptisches Integral erster Art
ellipeinc: Unvollständiges elliptisches Integral zweiter Art
elliprd: Symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.
elliprg: Vollständig symmetrisches elliptisches Integral zweiter Art.

Hinweise

Wrapper für die Cephes [1] Routine ellpe.

Für m > 0 verwendet die Berechnung die Approximation,

\[E(m) \approx P(1-m) - (1-m) \log(1-m) Q(1-m),\]

wobei \(P\) und \(Q\) zehnte Polynome sind. Für m < 0, die Beziehung

\[E(m) = E(m/(m - 1)) \sqrt(1-m)\]

wird verwendet.

Die Parametrisierung in Bezug auf \(m\) folgt der von Abschnitt 17.2 in [2]. Andere Parametrisierungen in Bezug auf den komplementären Parameter \(1 - m\), den modularen Winkel \(\sin^2(\alpha) = m\) oder den Modul \(k^2 = m\) werden ebenfalls verwendet, seien Sie also vorsichtig, dass Sie den richtigen Parameter wählen.

Das Legendre E-Integral ist auf vielfältige Weise mit Carlsons symmetrischen R_D- oder R_G-Funktionen verbunden [3]. Zum Beispiel:

\[E(m) = 2 R_G(0, 1-k^2, 1) .\]

Referenzen

[1]

Cephes Mathematical Functions Library, http://www.netlib.org/cephes/

[2]

Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Hrsg. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

[3]

NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.28 vom 2020-09-15. Siehe Abschnitt 19.25(i) https://dlmf.nist.gov/19.25#i

Beispiele

Diese Funktion wird bei der Ermittlung des Umfangs einer Ellipse mit der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b verwendet.

>>> import numpy as np
>>> from scipy import special

>>> a = 3.5
>>> b = 2.1
>>> e_sq = 1.0 - b**2/a**2  # eccentricity squared

Dann wird der Umfang mit Folgendem ermittelt:

>>> C = 4*a*special.ellipe(e_sq)  # circumference formula
>>> C
17.868899204378693

Wenn a und b gleich sind (was bedeutet, dass die Exzentrizität 0 ist), reduziert sich dies auf den Umfang eines Kreises.

>>> 4*a*special.ellipe(0.0)  # formula for ellipse with a = b
21.991148575128552
>>> 2*np.pi*a  # formula for circle of radius a
21.991148575128552