Chi-Quadrat-Verteilung

Dies ist die Gamma-Verteilung mit \(L=0.0\) und \(S=2.0\) und \(\alpha=\nu/2\), wobei \(\nu\) die Freiheitsgrade genannt wird. Wenn \(Z_{1}\ldots Z_{\nu}\) alles Standard-Normalverteilungen sind, dann hat \(W=\sum_{k}Z_{k}^{2}\) die (Standard-)Chi-Quadrat-Verteilung mit \(\nu\) Freiheitsgraden.

Die Standardform (die am häufigsten in Standardform verwendet wird) hat die Unterstützung \(x\geq0\).

\begin{eqnarray*} f\left(x;\alpha\right) & = & \frac{1}{2\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu/2-1}e^{-x/2}\\ F\left(x;\alpha\right) & = & \frac{\gamma\left(\frac{\nu}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\\ G\left(q;\alpha\right) & = & 2\gamma^{-1}\left(\frac{\nu}{2},q{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\right)\end{eqnarray*}

wobei \(\gamma\) die untere unvollständige Gammafunktion ist, \(\gamma\left(s, x\right) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt\).

\[M\left(t\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}-t\right)^{\nu/2}}\]

\begin{eqnarray*} \mu & = & \nu\\ \mu_{2} & = & 2\nu\\ \gamma_{1} & = & \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\nu}}\\ \gamma_{2} & = & \frac{12}{\nu}\\ m_{d} & = & \frac{\nu}{2}-1\end{eqnarray*}

Implementierung: scipy.stats.chi2