Kontinuierliche statistische Verteilungen#

Überblick#

Alle Verteilungen haben Lage- (L) und Skalierungsparameter (S) sowie alle benötigten Formparameter. Die Namen der Formparameter variieren. Die Standardform der Verteilungen wird angegeben, wobei \(L=0.0\) und \(S=1.0.\) Die nichtstandardmäßigen Formen können für die verschiedenen Funktionen unter Verwendung von (beachten Sie, dass \(U\) eine standardmäßige uniforme Zufallsvariable ist) erhalten werden.

Funktionsname

Standardfunktion

Transformation

Kumulative Verteilungsfunktion (CDF)

\(F\left(x\right)\)

\(F\left(x;L,S\right)=F\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)

\(f\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)\)

\(f\left(x;L,S\right)=\frac{1}{S}f\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

Perzentil-Punkt-Funktion (PPF)

\(G\left(q\right)=F^{-1}\left(q\right)\)

\(G\left(q;L,S\right)=L+SG\left(q\right)\)

Wahrscheinlichkeits-Sparsity-Funktion (PSF)

\(g\left(q\right)=G^{\prime}\left(q\right)\)

\(g\left(q;L,S\right)=Sg\left(q\right)\)

Gefährdungsfunktion (HF)

\(h_{a}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{1-F\left(x\right)}\)

\(h_{a}\left(x;L,S\right)=\frac{1}{S}h_{a}\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

Kumulative Gefährdungsfunktion (CHF)

\(H_{a}\left(x\right)=\) \(\log\frac{1}{1-F\left(x\right)}\)

\(H_{a}\left(x;L,S\right)=H_{a}\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

Überlebensfunktion (SF)

\(S\left(x\right)=1-F\left(x\right)\)

\(S\left(x;L,S\right)=S\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

Inverse Überlebensfunktion (ISF)

\(Z\left(\alpha\right)=S^{-1}\left(\alpha\right)=G\left(1-\alpha\right)\)

\(Z\left(\alpha;L,S\right)=L+SZ\left(\alpha\right)\)

Momentenerzeugende Funktion (MGF)

\(M_{Y}\left(t\right)=E\left[e^{Yt}\right]\)

\(M_{X}\left(t\right)=e^{Lt}M_{Y}\left(St\right)\)

Zufallsvariablen

\(Y=G\left(U\right)\)

\(X=L+SY\)

(Differentiale) Entropie

\(h\left[Y\right]=-\int f\left(y\right)\log f\left(y\right)dy\)

\(h\left[X\right]=h\left[Y\right]+\log S\)

(Nichtzentrale) Momente

\(\mu_{n}^{\prime}=E\left[Y^{n}\right]\)

\(E\left[X^{n}\right]=L^{n}\sum_{k=0}^{N}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)\left(\frac{S}{L}\right)^{k}\mu_{k}^{\prime}\)

Zentrale Momente

\(\mu_{n}=E\left[\left(Y-\mu\right)^{n}\right]\)

\(E\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{n}\right]=S^{n}\mu_{n}\)

Mittelwert (Modus, Median), Varianz

\(\mu,\,\mu_{2}\)

\(L+S\mu,\, S^{2}\mu_{2}\)

Schiefe

\(\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left(\mu_{2}\right)^{3/2}}\)

\(\gamma_{1}\)

Kurtosis

\(\gamma_{2}=\frac{\mu_{4}}{\left(\mu_{2}\right)^{2}}-3\)

\(\gamma_{2}\)

Momente#

Nichtzentrale Momente werden mit der PDF definiert

\[\mu_{n}^{\prime}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f\left(x\right)dx.\]

Beachten Sie, dass diese immer mit der PPF berechnet werden können. Setzen Sie \(x=G\left(q\right)\) in die obige Gleichung ein und erhalten Sie

\[\mu_{n}^{\prime}=\int_{0}^{1}G^{n}\left(q\right)dq\]

was numerisch einfacher zu berechnen sein kann. Beachten Sie, dass \(q=F\left(x\right)\) sodass \(dq=f\left(x\right)dx.\) Zentrale Momente werden ähnlich berechnet \(\mu=\mu_{1}^{\prime}\)

\begin{eqnarray*} \mu_{n} & = & \int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mu\right)^{n}f\left(x\right)dx\\ & = & \int_{0}^{1}\left(G\left(q\right)-\mu\right)^{n}dq\\ & = & \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)\left(-\mu\right)^{k}\mu_{n-k}^{\prime}\end{eqnarray*}

Insbesondere

\begin{eqnarray*} \mu_{3} & = & \mu_{3}^{\prime}-3\mu\mu_{2}^{\prime}+2\mu^{3}\\ & = & \mu_{3}^{\prime}-3\mu\mu_{2}-\mu^{3}\\ \mu_{4} & = & \mu_{4}^{\prime}-4\mu\mu_{3}^{\prime}+6\mu^{2}\mu_{2}^{\prime}-3\mu^{4}\\ & = & \mu_{4}^{\prime}-4\mu\mu_{3}-6\mu^{2}\mu_{2}-\mu^{4}\end{eqnarray*}

Schiefe ist definiert als

\[\gamma_{1}=\sqrt{\beta_{1}}=\frac{\mu_{3}}{\mu_{2}^{3/2}}\]

während (Fisher) Kurtosis

\[\gamma_{2}=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^{2}}-3,\]

so dass eine Normalverteilung eine Kurtosis von Null hat.

Median und Modus#

Der Median, \(m_{n}\), ist definiert als der Punkt, an dem die Hälfte der Dichte auf einer Seite und die Hälfte auf der anderen Seite liegt. Mit anderen Worten, \(F\left(m_{n}\right)=\frac{1}{2}\), sodass

\[m_{n}=G\left(\frac{1}{2}\right).\]

Zusätzlich ist der Modus, \(m_{d}\), definiert als der Wert, für den die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ihren Höhepunkt erreicht

\[m_{d}=\arg\max_{x}f\left(x\right).\]

Datenanpassung#

Um Daten an eine Verteilung anzupassen, ist die Maximierung der Likelihood-Funktion üblich. Alternativ haben einige Verteilungen gut bekannte erwartungstreue Schätzer mit minimaler Varianz. Diese werden standardmäßig gewählt, aber die Likelihood-Funktion wird immer zur Minimierung verfügbar sein.

Wenn \(f\left(x;\boldsymbol{\theta}\right)\) die PDF einer Zufallsvariable ist, wobei \(\boldsymbol{\theta}\) ein Parametervektor ist (z. B. \(L\) und \(S\)), dann ist für eine Sammlung von \(N\) unabhängigen Stichproben aus dieser Verteilung die gemeinsame Verteilung des Zufallsvektors \(\mathbf{x}\)

\[f\left(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}\right)=\prod_{i=1}^{N}f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right).\]

Die Maximum-Likelihood-Schätzung der Parameter \(\boldsymbol{\theta}\) sind die Parameter, die diese Funktion maximieren, wobei \(\mathbf{x}\) fixiert und durch die Daten gegeben ist.

\begin{eqnarray*} \boldsymbol{\theta}_{es} & = & \arg\max_{\boldsymbol{\theta}}f\left(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & \arg\min_{\boldsymbol{\theta}}l_{\mathbf{x}}\left(\boldsymbol{\theta}\right).\end{eqnarray*}

Wobei

\begin{eqnarray*} l_{\mathbf{x}}\left(\boldsymbol{\theta}\right) & = & -\sum_{i=1}^{N}\log f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & -N\overline{\log f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right)}\end{eqnarray*}

Beachten Sie, dass, wenn \(\boldsymbol{\theta}\) nur Formparameter enthält, die Lage- und Skalierungsparameter angepasst werden können, indem \(x_{i}\) durch \(\left(x_{i}-L\right)/S\) in der Log-Likelihood-Funktion ersetzt wird, \(N\log S\) hinzugefügt und minimiert wird, also

\begin{eqnarray*} l_{\mathbf{x}}\left(L,S;\boldsymbol{\theta}\right) & = & N\log S-\sum_{i=1}^{N}\log f\left(\frac{x_{i}-L}{S};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & N\log S+l_{\frac{\mathbf{x}-S}{L}}\left(\boldsymbol{\theta}\right)\end{eqnarray*}

Wenn gewünscht, können Stichprobenschätzer für \(L\) und \(S\) (nicht notwendigerweise Maximum-Likelihood-Schätzer) aus Stichprobenschätzern des Mittelwerts und der Varianz unter Verwendung von

\begin{eqnarray*} \hat{S} & = & \sqrt{\frac{\hat{\mu}_{2}}{\mu_{2}}}\\ \hat{L} & = & \hat{\mu}-\hat{S}\mu\end{eqnarray*}

erhalten werden, wobei \(\mu\) und \(\mu_{2}\) als Mittelwert und Varianz der **untransformierten** Verteilung (wenn \(L=0\) und \(S=1\)) als bekannt angenommen werden und

\begin{eqnarray*} \hat{\mu} & = & \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}=\bar{\mathbf{x}}\\ \hat{\mu}_{2} & = & \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\hat{\mu}\right)^{2}=\frac{N}{N-1}\overline{\left(\mathbf{x}-\bar{\mathbf{x}}\right)^{2}}\end{eqnarray*}

Standardnotation für den Mittelwert#

Wir werden verwenden

\[\overline{y\left(\mathbf{x}\right)}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y\left(x_{i}\right)\]

wobei \(N\) aus dem Kontext als die Anzahl der Stichproben \(x_{i}\) hervorgehen sollte.

Referenzen#

In den Tutorials treten mehrere spezielle Funktionen wiederholt auf und sind hier aufgelistet.

Symbol

Beschreibung

Definition

\(\gamma\left(s, x\right)\)

Unvollständige Gamma-Funktion (links)

\(\int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt\)

\(\Gamma\left(s, x\right)\)

Unvollständige Gamma-Funktion (rechts)

\(\int_x^\infty t^{s-1} e^{-t} dt\)

\(B\left(x;a,b\right)\)

Unvollständige Beta-Funktion

\(\int_{0}^{x} t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1} dt\)

\(I\left(x;a,b\right)\)

Regulierte unvollständige Beta-Funktion

\(\frac{\Gamma\left(a+b\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(b\right)} \int_{0}^{x} t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1} dt\)

\(\phi\left(x\right)\)

PDF für die Normalverteilung

\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\)

\(\Phi\left(x\right)\)

CDF für die Normalverteilung

\(\int_{-\infty}^{x}\phi\left(t\right) dt = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\)

\(\psi\left(z\right)\)

Digamma-Funktion

\(\frac{d}{dz} \log\left(\Gamma\left(z\right)\right)\)

\(\psi_{n}\left(z\right)\)

Polygamma-Funktion

\(\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\left(\Gamma\left(z\right)\right)\)

\(I_{\nu}\left(y\right)\)

Modifizierte Besselfunktion der ersten Art

\(\mathrm{Ei}(\mathrm{z})\)

Exponentielle Integralfunktion

\(-\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt\)

\(\zeta\left(n\right)\)

Riemannsche Zeta-Funktion

\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n}}\)

\(\zeta\left(n,z\right)\)

Hurwitzsche Zeta-Funktion

\(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\left(k+z\right)^{n}}\)

\(\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots,a_{p};b_{1},\ldots,b_{q};z)\)

Hypergeometrische Funktion

\(\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(a_{1})_{n}\cdots(a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots(b_{q})_{n}}} \,{\frac{z^{n}}{n!}}\)

Kontinuierliche Verteilungen in scipy.stats#