Schiefe Cauchy-Verteilung

Diese Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Cauchy-Verteilung. Sie hat einen einzelnen Formparameter \(-1 < a < 1\), der die Verteilung schief macht. Der Spezialfall \(a=0\) ergibt die Cauchy-Verteilung.

Funktionen

\begin{eqnarray*} f(x, a) & = & \frac{1}{\pi \left(\frac{x^2}{\left(a x + 1 \right)^2} + 1 \right)},\quad x\ge0; \\ & = & \frac{1}{\pi \left(\frac{x^2}{\left(-a x + 1 \right)^2} + 1 \right)},\quad x<0. \\ F(x, a) & = & \frac{1 - a}{2} + \frac{1 + a}{\pi} \arctan\left(\frac{x}{1 + a} \right),\quad x\ge0; \\ & = & \frac{1 - a}{2} + \frac{1 - a}{\pi} \arctan\left(\frac{x}{1 - a} \right),\quad x<0. \end{eqnarray*}

Der Mittelwert, die Varianz, die Schiefe und der Kurtosis sind alle undefiniert.

Referenzen

• „Skewed generalized t distribution“, Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Skewed_generalized_t_distribution#Skewed_Cauchy_distribution

Implementierung: scipy.stats.skewcauchy