Log-Normal (Cobb-Douglas) Verteilung

Hat einen Formparameter \(\sigma\) >0. (Beachten Sie, dass "Regress" \(A=\log S\) ist, wobei \(S\) der Skalenparameter und \(A\) der Mittelwert der zugrundeliegenden Normalverteilung ist). Die Träger ist \(x\geq0\).

\begin{eqnarray*} f\left(x;\sigma\right) & = & \frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)^{2}\right)\\ F\left(x;\sigma\right) & = & \Phi\left(\frac{\log x}{\sigma}\right)\\ G\left(q;\sigma\right) & = & \exp\left( \sigma\Phi^{-1}\left(q\right)\right) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \mu & = & \exp\left(\sigma^{2}/2\right)\\ \mu_{2} & = & \exp\left(\sigma^{2}\right)\left[\exp\left(\sigma^{2}\right)-1\right]\\ \gamma_{1} & = & \sqrt{p-1}\left(2+p\right)\\ \gamma_{2} & = & p^{4}+2p^{3}+3p^{2}-6\quad\quad p=e^{\sigma^{2}}\end{eqnarray*}

Beachten Sie, dass wir in JKB-Notation \(\theta=L,\) \(\zeta=\log S\) haben und die sogenannte antilogarithmische Form der Verteilung angegeben haben. Dies ist konsistenter mit der Beschreibung von allgemeinen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nach Lage und Skala.

\[h\left[X\right]=\frac{1}{2}\left[1+\log\left(2\pi\right)+2\log\left(\sigma\right)\right].\]

Beachten Sie auch, dass wenn \(X\) eine log-normalverteilte Zufallsvariable mit \(L=0\) und \(S\) und dem Formparameter \(\sigma.\) ist, dann ist \(\log X\) normalverteilt mit Varianz \(\sigma^{2}\) und Mittelwert \(\log S.\)

Implementierung: scipy.stats.lognorm